Pendiente y angulo de inclinación.

Consideramos como (ángulo de inclinación) a aquel ángulo que se pueda presentar entre un segmento plano (Horizonte) y otro segmento distante.

Por ejemplo:

Dicha noción representa una pieza crucial, para algunas condiciones que se puedan presentar en un fenómenos naturales o producidos. Tal es el caso de la construcción de un puente que disponga de múltiples vías. Es necesario conocer la pendiente de una vía con respecto a otra para evitar una mala construcción del mismo.

Esta misma analogía podría ser ubicada en la comodidad del hogar, en las esquinas de las habitaciones. Si suponemos querer tener una habitación en la que la edificación de los cuartos cuadre es necesario, de cierta manera conocer a que ángulos inclinación estan dictadas las paredes.

Pues podría generarse una situación de una mala edificiación lo cual repercutiría en unos cuartos mal construidos. Todo estos detalles muy importantes para poder llevar un trabajo adelante.

Es por ello, que dicha noción debe ser tomada con seriedad pues uno nunca se imagina en la situación que podría ser útil.

La determinación del (ángulo de inclinación) ya en términos de su valor, es realizado bajo el contexto de la trigonometría por medio de la (Tangente y su función inversa) o bien a través del analísis vectorial.. Ambos caminos conduciendonos al mismo resultado.

En esta ocasión nos limitaremos al (Caso de la trigonometría), pues el otro caso sugiere concepciones de otros objetos aún no presentados o conocidos por muchas personas. Motivo por el cual se toma la consideración anterior.

Ahora bién, supongamos que tenemos un segmento (Horizonte) cuya longitud es de 2 metros y poseemos una altura de 4 metros del segmento (Horizonte) a el segmento distante y no conocemos la longitud del (Segmento distante).

Y por supuesto deseamos conocer el (valor del ángulo) comprendido entre estos 2 segmentos.. Entonces tendríamos una escenario similar a éste:

Para ello empleamos un poco de trigonometría utilizando la razón (Tangente) seguido de la ejecución de la función (Tangente inversa) para determinar el correspondiente ángulo, como se muestra en la imagen.

Suponiendo que podemos referenciar un marco, donde es posible establecer la distancia entre un segmento u otro.. Y que por extraña razón no conocemos el valor de un segmento, lo cual fuera ilógico deduciendo que pudimos establecer una altura..

Y por consiguiente debemos conocer la longitud del (segmento distante) ya que de no ser así no hubiera sido posible deducir un punto de donde fijar la altura que contemplamos.

Todo ello por supuesto considerando que el entorno, genera los elementos necesarios para la utilización de las razones trigonometrícas osea exista un triángulo rectángulo en él. Ya que de lo contrario sería necesario aplicar algunas leyes como: (Ley de los cosenos o ley de los senos) para conocer ello, ya que serían otra clase de triángulo.

Por el camino del (Analísis vectorial) se sugiere además de la noción de razones trigonometrícas, el conocimiento de la ubicación de los vectores dentro del marco de un (Sistema de coordenadas)..

En lo que ha (Pendiente de una recta) se refiere, consideramos como (Pendiente) aquella magnitud que expresa la variación o crecimiento de un objeto con respecto a sí mismo, por ejemplo: El caso de la recta, indica el crecimiento de la misma al cabo del paso de una unidad. Sirviendo dicho hecho como una base para la construcción de algunos otros objetos más complejos.

Como se muestra, en la imagen:

Esta noción es la asociación común de la razón trigonometríca (Tangente) a un ámbito de continuidad.

La determinación en el caso de la recta unicamente consiste en tomar dos coordenadas de la recta evaluarlas de acuerdo al cociente indicado en la imagen y listo!, Constatando que en una recta la pendiente siempre es constante por lo tanto no implica un reto de determinación, pero la pendiente de una curva no es del todo sencilla de determinar.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

Paralelismo y perdendicularidad, son dos factores que dentro de cualquier aspecto de la matemática son importantes.. No solo en ésta, en contextos más sociales también ya que son el reflejo de ciertos factores en la naturaleza.

Por ejemplo, consideramos como (Paralelismo) aquella relación que establece que un objeto geométrico lineal con perspectiva dimensional (Unidimensional o mayor) no se intersecta con otro objeto del mismo estilo.

Ejemplos:

- Percepción (Bidimensional).

- Percepción (Tridimensional).

Dicho signo (||) es un denotador del paralelismo.

El rigor del significado de (Paralelismo) toma diferentes sentidos de acuerdo al área por donde se aborde, ya que existen casos que es meramente abstracto su concepción como es el caso de la (Geometría afín) que emplea una noción más avanzada de lo que se conoce como: Espacios vectoriales.

La comprobabilidad si ciertos objetos matemáticos son paralelos, esta sujeta a una serie de condiciones a cumplir, en algunos textos son citados como (Teoremas del paralelismo).

- Dos rectas no verticales (L1 y L2) son paralelas sí y solo sí sus correspondiente pendientes (m1 y m2) lo son también. (En caso 2D)
- Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).
- En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

Por el contrario, consideramos como (Perpendicularidad) aquella relación opuesta al (Paralelismo) de tal manera que los objetos geométricos si se intersectan entre sí, formando un ángulo de (90 grados sexagesimales).

Ejemplos:

- Percepción (Bidimensional).

- Percepción (Tridimensional).

De igual manera la comprobabilidad si ciertos objetos matemáticos son perpendiculares, esta sujeta a una cierta condición que es generalizada a otros aspectos geométricos en la consolidación de la (Ortogonalidad).

- Dos rectas no verticales (L1 y L2) son perpendiculares sí y solo sí si sus pendientes (m1 y m2) son recíprocas en cuestión de su signo. (En caso 2D)

La perpendicularidad se puede presentar en: Rectas, Semirectas, Planos, Semiplanos… Ya que (Semirectas y Semiplanos) son conceptos implícitos dentro del margen de (Rectas y Planos).

La demostración de las condiciones anteriores, sugiere una construcción geométrica. Aunque existen otros métodos analíticos que cumplirían con el mismo propósito como en el (álgebra vectorial) es posible observar, pero el método clásico es a base de la (Geometría plana más precisamente los postulados de Euclides).

Determinancion de la ecuación de la recta.

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar , a la abscisa al origen se le puede llamar . Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos  y  (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación , usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente :

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación de la recta en la forma normal.

Ecuación normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)

Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de B X A. Como sigue:

Con el número x podemos obtener a  y a  de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.

Ecuación normal de la recta (Segunda forma)

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Forma polar de la ecuación de la recta.

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo  como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ((θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si (−θ) = (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si (180°−θ) = (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si (θ−α°) = (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

Circunferencia

La ecuación general para una circunferencia con centro en (₀, φ) y radio  es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. 

Línea

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan  donde  es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (₀, φ) tiene la ecuación

Rosa polar

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

para cualquier constante  (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si tomamos sólo valores positivos para r y valores en el intervalo  para  , la gráfica de la ecuación:

es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural . Y si , la gráfica es una circunferencia de radio 

Espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación

Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más fácil con una ecuación polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.

Secciones cónicas

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

donde e es la excentricidad y  es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; sie = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .